מרחב שרפינסקי

בטופולוגיה, מרחב שרפינסקי הוא מרחב טופולוגי בעל שני איברים. חשיבותו בהיותו דוגמה נגדית פשוטה לטענות רבות בטופולוגיה. זוהי הטופולוגיה הקטנה ביותר שאינה טריוויאלית או דיסקרטית.

המרחב נקרא על שם המתמטיקאי הפולני ואצלב שרפינסקי.

הגדרה

מרחב שרפינסקי הוא קבוצה $X=\{a,b\}$ יחד עם הטופולוגיה $\tau =\{\phi ,\{a\},\{a,b\}\}$. בדיקה ישירה של כל האפשרויות לאיחוד וחיתוך מראה שזהו אכן מרחב טופולוגי.

שתי הטופולוגיות האפשריות האחרות על $X=\{a,b\}$ הן הטופולוגיה הטריוויאלית והטופולוגיה הדיסקרטית. הטופולוגיה $\tau =\{\phi ,\{b\},\{a,b\}\}$ הומאומורפית לטופולוגיה שהוגדרה לעיל.

תכונות

• במרחב שרפינסקי היחידון $\{a\}$ פתוח ולא סגור, בעוד היחידון $\{b\}$ סגור ולא פתוח.
• המרחב הוא קשיר וקשיר מסילתית.
• המרחב קומפקטי, כי הוא סופי.
• המרחב מקיים את תכונת ההפרדה ${T}_{0}$ אך לא את התכונה ${T}_{1}$ (ניתן לבודד את a מ-b, אך לא את b מ-a). בפרט, המרחב אינו מרחב מטריזבילי.
• במרחב זה התכנסות סדרות מעניינת - כל סדרה מתכנסת לאיבר $b$ ואילו סדרה תתכנס ל-$a$ אך ורק אם החל ממקום מסוים היא שווה לו זהותית.
• ההעתקות הרציפות מהמרחב לעצמו הן רק הזהות והעתקות קבועות.

הכללה

ניתן להכליל את המרחב הנ"ל לכל קבוצה לא ריקה $X$, כאשר בהינתן $a\in X$ מגדירים את הטופולוגיה $T=\{\phi ,\{a\},X\}$. מרחב זה מקיים חלק מן התכונות שהובאו לעיל.

כמות המרחבים הללו היא כעוצמת הקבוצה $X$, אך כולם הומיאומורפיים.